Created By Tee

Arrow’s Impossibility Theorem (ตอนหนึ่ง)

July 9th, 2008

เรื่องนี้คิดอยู่นานว่าเขียนดีไม่เขียนดี เพราะเดาว่าเขียนไปคนที่อ่านรู้เรื่องคงมีไม่กี่คน ต้องเป็นคนที่เข้าใจ logic พอสมควรทีเดียวที่จะอ่านแล้วเข้าใจได้ ผมว่ามีน้อยคนที่จะอ่านรู้เรื่อง เพราะฉะนั้นอ่านไม่รู้เรื่องไม่ต้องเสียใจครับ แต่เห็นว่าไม่เคยมีใครเขียนเรื่องนี้เป็นภาษาไทย ก็เลยเขียนไว้เผื่อมีคนอยากรู้

การเลือกตั้ง ลงคะแนนเสียง จริง ๆ แล้วก็คือคือ การจัดลำดับความชอบของคนในสังคมแบบที่ make sense ตรงสัญชาตญาณ หรือ ที่หลาย ๆ คนเรียกว่า common sense จะบอกว่าอย่างนั้น แต่ที่จริงแล้วมันสามารถพิสูจน์ได้ว่า การเลือกตั้งมันไม่ค่อย make sense (ถ้ามีตัวเลือกตั้งแต่สามคนขึ้นไป) เท่าไหร่ เอาล่ะพูดแล้วงง ผมจะพูดให้ชัดเจนขึ้นนะครับ พยายามเอา ความยากทางเทคนิคออกไปทำให้ อาจจะทำให้บางที่ไม่สมบูรณ์ได้

เอาละมาเข้าใจก่อนว่า การเลือกตั้งเนี่ยแปลว่าอะไร สมมติว่ามีคนสามพรรค มาสมัครรับเลือกตั้ง พรรค A พรรค B และ พรรค C ให้คนเลือกเลยว่าชอบพรรคไหนมากกว่าพรรคไหนลำดับอย่างไร

อย่างเช่น ผมอาจจะชอบ A มากกว่า B มากกว่า C ( A > B > C) เป็นต้น ผมจะเรียกสิ่งนี้ว่า Preference (ลำดับความชอบ) และแทนมันด้วยตัว R

ถ้ามีหลายคนผมก็จะเรียกว่า R_1 , R_2 , R_3 …. ไปหมายถึง ความชอบของคนที่หนึ่ง คนที่สอง คนที่สาม และ ไปเรื่อย ๆ เพื่อเป็นความสั้นผมจะเรียกมันทั้งหมดว่า R_i

คราวนี้การเลือกตั้งถ้าคิดดี ๆ มันก็แค่ การเอา ความชอบของทุกคน ( R_i ) มาแล้วคิด ๆ ๆ ๆ แล้วได้ ความชอบของสังคมออกมา Q อย่างเช่น Q = B > A > C เป็นต้น ผมเลือกใช้ การเลือกตั้งว่า F เพราะฉะนั้นเขียนสั้น ๆ ว่า F(R_1,R_2,….) = F(R_i) = Q

คราวนี้ลองถามซิว่าการเลือกตั้งที่ ยุติธรรมและ make sense มีอะไรบ้าง นั่นคือ F ต้องทำอะไรบ้าง

1. no dictator นั่นหมายความว่า ไม่มีคนที่สามารถเลือกผลลัพท์ของสังคมได้ ไม่ว่าคนอื่นเลือกว่าอะไร ตัวอย่างคือ สมมติว่าผมเป็น dictator หรือที่คนไทยชอบเรียกว่าจอมเผด็จการ คนอื่นจะโหวตอะไรก็ตาม ผมลัพธ์ที่ออกมาจากการเลือกตั้งจะเหมือนที่ผมเลือกเสมอ หรือในสัญลักษณ์ที่ผมเขียนข้างบนไว้ว่า ไม่มี j ใด ๆ ที่ทำให้ F(R_1,R_2 …, R_j, … ) = R_j สำหรับทุก R_i
2. Pareto Efficiency(PE) อันนี้คือ ถ้าสมมติว่าทุกคนชอบ A มากกว่า B ผลความชอบของสังคมออกมาต้องบอกว่า สังคมชอบ A มากกว่า B ด้วย make sense มาก
3. Independence of Irrelevant Alternatives(IIA) อันนี้คล้ายกับข้างบนแต่ต่างกันนิดหน่อย(มีสมมติฐานเพิ่มนิดหน่อยแล้วจะ พิสูจน์ข้างบนได้) อันนี้บอกว่า สมมติว่า ความชอบของสังคมบอกว่า สังคมชอบ A > B คราวนี้ สมมติอีกว่าเมื่อก่อนเนี่ย ตัวผม(ไม่ใช่สังคม) ชอบ B > A > C คราวนี้ผมเปลี่ยนใจว่าผมชอบ C สุด ๆเปลี่ยนใจมาเป็น C > B > A โดยลำดับความชอบระหว่าง A ยังคงเดิม ความชอบของสังคม ระหว่าง A กับ B ต้องเหมือนเดิม

   ถ้างงสมมติว่า สังคมบอกว่า ชอบ ส้มตำ มากกว่า ลาบ โดยที่ผมโหวตไปว่า ผมชอบ ลาบ > ส้มตำ > น้ำตก คราวนี้สมมติว่าผมเปลี่ยนใจชอบน้ำตกสุด ๆ เปลี่ยนโหวตผมเป็น น้ำตก > ลาบ > ส้มตำ โดยผมก็ยังชอบลาบมากกว่าส้มตำอยู่ดี เพราะฉะนั้น ผมความชอบของสังคมระหว่าง ส้มตำกับลาบ ไม่ควรจะเปลี่ยน

สามข้อนี้ ดูออกจะ make sense เข้าท่า ว่าเป็นข้อบังคับง่าย ๆ ของการเลือกตั้งที่ควรจะเป็น แต่….มันพิสูจน์ได้ว่า สามข้อนี้เป็นจริงพร้อมกันไม่ได้

นั่นคือพิสูจน์ได้ว่า PE กับ IIA เป็นจริง จะมีคนที่กำหนดผลการเลือกตั้งได้ (ไม่ต้องซื้อเสียงด้วย ไม่ต้องใช้ม.7 ด้วย) การพิสูจน์จะตามมาในตอนสองนะครับ เดี๋ยวจะอ่านกันเหนื่อย เพราะบางคนอาจจะไม่สนใจพิสูจน์ ก็เลยแยกเป็นสองตอนให้ แต่ผมว่าเป็นการพิสูจน์ที่ค่อนข้างเท่มากนะครับ (คำว่าพิสูจน์ในที่นี้คือพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การพิสูจน์แบบ “เมื่อมีเหตุอันควรเชื่อได้ว่า” นะครับ )

ตอนสองอยู่นี่ครับ

Entry Filed under: Uncategorized