Created By Tee

ยิ่งเล่นยิ่งเสีย

November 12th, 2006

บทความนี้ ต้องใช้ความสามารถทาง คณิตศาสตร์ระดับม.ปลาย ในการอ่านนะครับ แต่ว่าคนทั่วไปก็ใช้อ่านกับดูกราฟและเข้าใจได้นะครับ ผมจะพยายามทำให้อ่านง่ายที่สุดถึงแม้คุณจะไม่รู้เรื่องคณิตศาสตร์เลยแม้แต่นิดเดียว

Abstract

(ภาษาไทยเรียกบทคัดย่อหรือเปล่าอ่ะไม่แน่ใจ)

การพนันยิ่งเล่นโอกาสที่จะออกจากบ่อนโดยมีเงินมากกว่าเดิม ยิ่งน้อยลง

บทนำ

ผมไม่ได้ anti คนเล่นการพนันนะครับ ผมไม่ชอบให้คนเล่นการพนันคิดว่าเล่นแล้วเราจะรวยได้เท่านั้น ถ้าเล่นสนุก สนุกไม่เดือดร้อนคิดว่าเป็นการผ่อนคลายผมก็ไม่เห็นว่าเสียหาย อ่ะครับ ผมยังคิด(ยังไม่รอบคอบนะ)ว่าการมีบ่อนในเมืองไทยไม่เสียหาย ถ้าแปะผลสรุปของบทความนี้ไว้ตัวใหญ่ ๆ ข้างหน้าบ่อน( ยิ่งเล่นยิ่งเสีย ) ผมจะไม่พูดแบบยกเมฆละนะ ผมจะพูดแบบพิสูจน์ได้จริง ๆ

การพนันแบบง่าย ๆ

การพนันในที่นี้ เพื่อทำให้อ่านง่ายและ ไม่ลงไปใน รายละเอียดคณิตศาสตร์ที่ดูแล้วงง มากเกินไป ผมจะพูดถีงแต่การแทง แบบมีโอกาสได้ 1 ใน 2 โดยแทง 1 ได้น้อยกว่าสองนิดนึง โดยผมจะแทนว่า แทง 1 ได้ 2-a โดย a เป็นจำนวนบวกนะครับ และ 2-a ควรจะเป็นจำนวนบวกด้วยไม่งั้นเราแทงแล้วหลังแทงเราต้องเสียเงินเพิ่มถ้าเราถูก สังเกตจากอันนี้ได้ว่า a ยิ่งมาก เรายิ่งขาดทุน ตัวอย่างของการแทงแบบนี้คล้ายกับ การแทงสีดำแดงของ roulette บังเอิญว่ามันมี 0 กับ 00 ที่มันไม่ได้สีแดงหรือสีดำด้วยอ่ะครับ จริง ๆ แล้วิธีนี้สามารถนำไป ใช้โดยประมาณได้ด้วยกับ การแทงสลากกินแบ่งรัฐบาลได้ด้วย(ผลสรุปเหมือนกัน ยิ่งเล่นยิ่งเสีย ) คิดประมาณค่า 2-a(เงินตอบแทนถ้าโดกาศถูกมีเป็น 50% ได้จากการซื้อหวยครึ่งนึงแล้วคิดแค่ว่าถูกเลขท้ายสองตัว(รางวัลอื่นเป็นแค่ ส่วน perturbation ของ 2-a ทำให้ค่ามากขึ้นไม่มาก) 2-a = 500/(40*50) = 0.25 เป็นผลตอบแทนที่ห่วยกว่า roulette อีกครับ หรือพูดได้ว่า ถูกก็ยังเสีย)

วิธีทำละนะครับ

สมมติว่าเราแทงเท่ากันทุกตา 1 บาท/ดอลล่าร์/เยน หรือหน่วยอะไรก็ได้ครับ ผมให้มันเป็น 1 เพื่อทำให้สมการดูไม่น่ากลัว

สมมติว่าเราเล่น N ตา โอกาศถูก n ตา คิดได้ไม่ยากครับ
สมมติว่า N=1 ตา โอกาสถูก n=1 ตาเป็น 1/2 โอกาสถูก n=0 ตา เป็น 1/2
สมมติว่า N=2 ตา โอกาสถูก n=1 ตาเป็น ถูกตาแรกแพ้ตาสอง->1/4 หรือ ถูกตาสองแพ้ตาแรก->1/4 บวกกันได้ 1/2
โอกาสถูก n=0 ตา คือแพ้ทั้งสองตาคือ 1/2 * 1/2 = 1/4 โอกาสถูกสองตาเป็น 1/2*1/2 = 1/4

หรือ พูดง่าย ๆ คือโอกาสถูก n ตา จาก N ตา(อธิบายยาวนิดหน่อยครับ) เชื่อผมหรือถามคนที่รู้คณิตศาสตร์ใกล้ๆ คุณ หรือคิดง่าย ๆ ว่ามันคือจำนวนวิธีเลือก n ตาจาก N ตา แล้วคูณด้วย (1/2)^N ว่ามันคือ

P(N,n) = N choose n 0.5^n = N!/((N-n)!n!) * (1/2)^N

ถ้าคนรู้จักสถิติ อันข้างบนคือ binomial distribution อ่ะครับ (p=1/2 เพื่อทำให้ตัวเลขดูง่าย)

คราวนี้ลองมาดูซิว่า ถ้าถูก n ตา จาก N ตาแล้วเงินที่เราได้เสีย D มึมากเท่าไหร่ อันนี้ไม่ยากครับ อย่าลืมว่า 2-a คือเงินที่เราจะได้ถ้าเราแทงถูกและอย่าลืมว่า เราแทงตาละ 1

D(N,n) = รวม(เงินที่ได้ - เงินที่แทง) = (2-a)*n - N

โดยถ้า D เป็นบวกแปลว่าเราได้ตังค์ ถ้า D เป็นลบแปลว่าเราขาดทุนนะครับ ลองมาหาเล่น ๆ ดูว่าเราต้องถูกมากกว่ากี่ตาเราถึงจะได้กำไร อย่าลืมว่า 2-a > 0

D(N,n) > 0 => (2-a)*n-N >0 => n > N/(2-a)

เพื่อความสะดวกผมจะเรียก N/(2-a) ว่า m(N) นะครับจำไว้ว่า m(N) คือจำนวนตาน้อยที่สุดที่ถ้าเราถูก m(N) ตาจากการเล่น N ตาแล้วเราจะได้กำไร

สังเกตได้ว่าถ้าเราให้ a>1 แบบสลากกินแบ่งเราต้องถูกมากกว่า จำนวนตาที่เราเล่น อีก เพราะฉะนั้นผมจะพิจารณาแค่ 1>a>0 เท่านั้น a อยู่ระหว่าง 0 กับ หนึ่ง (ห้ามเท่ากับ 0 และห้ามเท่ากับ 1)

คราวนี้ลองมาคิดดูซิว่าโอกาสที่เราจะได้กำไรมีเท่าไหร่ เราหามันได้จาก การรวม โอกาสที่เราจะถูก x ตาโดย x เริ่มจากจำนวนตาที่เราถูกแล้วทำให้เราได้กำไร จนถึง เราถูกทุกตา นั่นคือ

Q(N) = รวม(n>m) P(n,N)

มาถึงตอนนี้ลองมาสรุปกันหน่อยว่าเราทำอะไรไปเพื่อความไม่งง
ตอนแรกเราหาว่า โอกาสถูก n ตาจากการเล่น N ตามีเท่าไหร่เราเรียกมันว่า P(n,N)
หลังจากนั้นเราพบว่า จำนวนเงินที่ได้(หักค่าแทงแล้ว) ถ้าเราถูก n ตาจากการเล่น N เป็นท่าไหร่เราเรียกมันว่า D(n,N)
หลังจากนั้นเราก็หาว่า เราต้องถูกกี่ตาจาก N ตาเราถึงจะได้กำไร เราเรียกมันว่า m(N)
แล้วเราก็พบว่า โอกาสที่เราจะได้กำไรจากการเล่น N ตาคือ รวมโอกาสทั้งหมดที่เราจะได้ แล้วเราเรียกมันว่า Q(N)

ถึงตอนนี้ผมจะเสริมอีกนิดนึง เราหาโอกาสที่เราจะเสียได้ไม่ยากเพราะมันคือ 1-Q(N) นั่นเองถึงตอนนี้บางคนก็อาจจะร้องอ๋อแล้วก็รู้ละว่าทำไมแต่เพื่อความชัวร์ผมจะ plot โอกาสที่เราจะได้กำไรหลังจากเล่น N ตา กับจำนวนตาที่เราเล่น N ให้ดูนะครับ
โดยจากกราฟผมให้ a= 0.2 นะครับ นั่นคือแทง 1 ได้ 1.8 ดีกว่าหวยเยอะครับ

จากกราฟจะเห็นได้ว่าจริงด้วยยิ่งเล่นโอกาสได้ของเราน้อยลงเรื่อย ๆ และมากกว่านั้น ถ้าเราให้ N ใหญ่สุด ๆ infinity นั่นเอง เราก็จะพบว่า Q(infinity)= 0 หรือแปลเป็นภาษามนุษย์ได้ว่า ไม่มีทางได้กำไร

อย่าตกใจที่มันหยึกหยัก หยึกหยักนะครับ ที่มันหยิึกหยัก หยึกหยักก็เพราเว่า ถ้า N น้อย ๆ เราต้องถูกมากกว่าครึ่งนึงพอสมควรอ่ะครับกว่าเราจะได้ เพื่อความสบายใจผมจะplot m(x) ปัดขึ้น /x ให้ดูครับ จำนวน m(x)ปัดขึ้น /x คล้าย ๆ กับ เปอร์เซ็นของจำนวนตาที่เราต้องถูก เราถึงจะได้กำไรอ่ะครับ

คราวนี้ลองมาดูโอกาสเสียดูครับ มันก็แค่ 1-Q(N) แหละแต่เพื่อความชัดเจน

เห็นได้ว่า โอกาสเสียเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ หรือพูดได้ว่า ถ้าเสียแล้วอย่าคิดจะเอาคืน และมากกว่านั้นโอกาสเสียก็จะเป็น 1 เมื่อเราเล่นไป infinite ตา นั่นคือ เสียแหง ๆ

บทสรุปแบบสั้น ๆ

ยิ่งเล่นยิ่งเสีย

ปัจฉิมลิขิต

สำหรับคนที่รู้สถิติ ที่ผมอธิบายยาว ๆ ทั้งหมดเนี่ยพูดสั้นๆ ได้ว่า เรารู้ว่า SD ของ P ~ 1/sqrt(N) โอกาสที่เราจะไปมากกว่า มีนเกิน some fraction of SD ก็ยิ่ง ๆ ลงเรื่อย ๆ

สำหรับคนเล่นการพนัน แล้วบอกว่า เราก็แทงสองเท่าไปเรื่อย ๆ ดิ ได้เมื่อไหร่ก็เริ่มใหม่เห็นไหมแกผิด ก็จริงอ่ะแต่ว่า คุณสามารถใช้วิธีนี้ได้ ก็ต่อเมื่อ ย้ำว่าก็ต่อเมื่อ 1) เจ้ามือไม่อั้น และ 2) คุณมีเงินเป็น infinite(ซึ่งถ้าคุณรวยขนาดนั้นแล้วจะเล่นทำไม) และ 3) 2-a จะต้องมากกว่า 1 (ใช้กับสลากกินแบ่งรัฐบาลไม่ได้นะจะบอกให้)

สำหรับคนเล่นหุ้น อย่าตกใจครับมันต่างกันครับ ใน very very super duper simple model มันพิสูจน์ได้ว่า ensemble average ของหุ้นจะขึ้นเท่ากับดอกเบี้ยในธนาคารอ่ะครับ Assumption break down ตรง 2-a อ่ะครับ a ของหุ้นน้อยกว่า 0 ได้อ่ะครับและเป็น random variable และ a มันก็ไม่ได้เท่ากันทุกตาด้วย

Entry Filed under: Math